[HILO GENERAL] Hablemos de Matemáticas

Venga, aquí dejo un problema para los que queráis pensar. Es facilillo:

Probar que n³+2n es múltiplo de 3 ∀ n ∈ N

Metodo inductivo.

Para n=1; (1)^3 + 2*1 = 3, es múltiplo de 3.

Suponiendo que n^3 + 2n es múltiplo de 3 para un cierto n ∈ N, demostremos que lo es tambien para el rango n+1:

(n+1)^3 + 2*(n+1)
=n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2
=3n^2 + 3n + 3 + [n^3+2n]
=3*(n^2 + n + 1) + [n^3 + 2n]

La primera parte (3*(n^2 + n + 1)) es múltiplo de 3 (es un 3k, siendo k=n^2 + n + 1) y la segunda parte ([n^3 + 2n]) es múltiplo de 3 por hipotesis.

Demostrado.

También se puede hacer por congruencias, pero bleh.

P.D: ¿Cúal es el premio por estos 5 mins perdidos?

Rolbap escribió:Metodo inductivo.

Para n=1; (1)^3 + 2*1 = 3, es múltiplo de 3.

Suponiendo que n^3 + 2n es múltiplo de 3 para un cierto n ∈ N, demostremos que lo es tambien para el rango n+1:

(n+1)^3 + 2*(n+1)
=n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2
=3n^2 + 3n + 3 + [n^3+2n]
=3*(n^2 + n + 1) + [n^3 + 2n]

La primera parte (3*(n^2 + n + 1)) es múltiplo de 3 (es un 3k, siendo k=n^2 + n + 1) y la segunda parte ([n^3 + 2n]) es múltiplo de 3 por hipotesis.

Demostrado.

También se puede hacer por congruencias, pero bleh.

P.D: ¿Cúal es el premio por estos 5 mins perdidos?

Sin premio me ha sorprendido que haya durado tan poco tiempo xD (yo lo hice por casuística, y salía fácil también).

Otro tirado mientras pienso alguno mejor: demostrar que si un número no tiene ni un 1, ni un 2, ni un 9, al multiplicarlo por tres tendrá un 1, un 2 o un 9.

pero hoygan yo no entiendía así esas cosassss

la cuestión chunga a encontrar es:

para todo 3 tal que 3 = x / y (donde "x" = n^3 + 2n)

tal que "n" = {0, 1, 2, 3, 4, 5)

HALLAR la sucesión de "y", tal que "y" ={1,1,4, 11,24,45,76...}

catlander escribió:pero hoygan yo no entiendía así esas cosassss

la cuestión chunga a encontrar es:

para todo 3 tal que 3 = x / y (donde "x" = n^3 + 2n)

tal que "n" = {0, 1, 2, 3, 4, 5)

HALLAR la sucesión de "y", tal que "y" ={1,1,4, 11,24,45,76...}

de nada me he enterado

Khebit escribió:

catlander escribió:pero hoygan yo no entiendía así esas cosassss

la cuestión chunga a encontrar es:

para todo 3 tal que 3 = x / y (donde "x" = n^3 + 2n)

tal que "n" = {0, 1, 2, 3, 4, 5)

HALLAR la sucesión de "y", tal que "y" ={1,1,4, 11,24,45,76...}

de nada me he enterado

1^3 + 2*1 = 3 ; 3/3 = 1 ; 3 = 3 / 1
2^3 + 2*2 = 12 ; 12/3 = 4 ; 3 = 12 / 4
3^3 + 2*3 = 33 ; 33/3 = 11 ; 3 = 33 / 11
4^3 + 2*4 = 76 ; 76/3 = 24 ; 3 = 76 / 24
5^3 + 2*5 = 135 ; 135/3 = 45 ; 3 = 135 / 45
etc

¿cuál es la fórmula a aplicar en el denominador (usando como determinante n) para obtener como resultado 3 si en el numerador es n^3 + 2*n?

Eso es lo que me trae de cráneo a mi

catlander escribió:

Khebit escribió:

catlander escribió:pero hoygan yo no entiendía así esas cosassss

la cuestión chunga a encontrar es:

para todo 3 tal que 3 = x / y (donde "x" = n^3 + 2n)

tal que "n" = {0, 1, 2, 3, 4, 5)

HALLAR la sucesión de "y", tal que "y" ={1,1,4, 11,24,45,76...}

de nada me he enterado

1^3 + 2*1 = 3 ; 3/3 = 1 ; 3 = 3 / 1
2^3 + 2*2 = 12 ; 12/3 = 4 ; 3 = 12 / 4
3^3 + 2*3 = 33 ; 33/3 = 11 ; 3 = 33 / 11
4^3 + 2*4 = 76 ; 76/3 = 24 ; 3 = 76 / 24
5^3 + 2*5 = 135 ; 135/3 = 45 ; 3 = 135 / 45
etc

¿cuál es la fórmula a aplicar en el denominador (usando como determinante n) para obtener como resultado 3 si en el numerador es n^3 + 2*n?

Eso es lo que me trae de cráneo a mi

No creo que haya una fórmula explícita más allá de la obvia (num/3)

¿wtf?

¿Para qué co*ones quieres hacer eso, cat? Pregunto. O al menos que relación tiene con la demostración. (porque no quita que sea una reflexión interesante, oye).

@khebit: Si 0 es número la proposición es errónea

Nah, no me sale. He probado fijandome en la cifra de unidades que tendría cualquier número, pero solo consigo demostrar que es verdad para todos los números que terminan en 3, 4 y 7. A ver si le doy a la cabeza un poco


Y hacerlo por casuística no se me habría ocurrido en este caso, aunque con casos de múltiplos de 3 es fácil, en teoría. ¿cuantos casos sacaste? ¿Como te salió? Ponlo aquí

Khebit escribió:
Otro tirado mientras pienso alguno mejor: demostrar que si un número no tiene ni un 1, ni un 2, ni un 9, al multiplicarlo por tres tendrá un 1, un 2 o un 9.

Este lo veo mucho más jodido, mañana veré como abordarlo

Rolbap: yo es que pensaba que había que desarrollar una función lineal para todos los múltiplos de 3

Rolbap escribió:¿wtf?

¿Para qué co*ones quieres hacer eso, cat? Pregunto. O al menos que relación tiene con la demostración. (porque no quita que sea una reflexión interesante, oye).

@khebit: Si 0 es número la proposición es errónea

Nah, no me sale. He probado fijandome en la cifra de unidades que tendría cualquier número, pero solo consigo demostrar que es verdad para todos los números que terminan en 3, 4 y 7. A ver si le doy a la cabeza un poco


Y hacerlo por casuística no se me habría ocurrido en este caso, aunque con casos de múltiplos de 3 es fácil, en teoría. ¿cuantos casos sacaste? ¿Como te salió? Ponlo aquí

Venga, añade si un número "entero positivo" al enunciado del problema y te quitas el 0 xD

Mi solución (escribo mal las potencias, pero es que paso xD)

n^3+2n=n(n^2+2)

Si n es múltiplo de 3, está demostrado. Si n no es múltiplo de 3, n^2+2 tiene que serlo, y la casuística se reduce a dos posibilidades:

• n=3k+1, n^2+2=(3k+1)^2+2=9k^2+6k+1+2=3(3k^2+2k+1), que es múltiplo de 3
  
• n=3k+2, n^2+2=(3k+2)^2+2=9k^2+12k+4+2=3(3k^2+4k+2), que también es múltiplo de 3, cqd

catlander escribió:

Khebit escribió:
Otro tirado mientras pienso alguno mejor: demostrar que si un número no tiene ni un 1, ni un 2, ni un 9, al multiplicarlo por tres tendrá un 1, un 2 o un 9.

Este lo veo mucho más jodido, mañana veré como abordarlo

Rolbap: yo es que pensaba que había que desarrollar una función lineal para todos los múltiplos de 3

demostración de que existe y (si procede) de la unicidad de la solución, encontrar la solución numérica no suele preguntarse en los problemas de Matemáticas de múltiplos/congruencias/teoría de números en general.

A ver. Si no tiene 1, 2 y 9. (lo que vale es lo final, lo otro es un caso por caso)

Sea X*3=Y

Si el primer numero de X (en 927, 9 es el primero) es un 3, el 1º numero de Y será 9 (del mismo orden) o 1Z (ergo 1 del orden superior)->se cumple
Si el primer numero de X es 4, el primero de Y es 1 (de orden superior). Siempre.
Si el primer numero de X es 5, el primero de Y es 1 (de orden superior). Siempre.
Si el primer numero de X es 6, el primero de Y es 1 (de orden superior) si el 2º numero de X es imferior a 6. Ee primero de Y es 2 si es superior a 6 (si es 6, o lo uno o lo otro).
Si el primer numero de X es 7, el primero de Y es 2 (de orden superior) siempre.
Si el primer numero de X es 8, el primero de Y es 2 (de orden superior) siempre.

Esto es porque 9(periodo de n)*3<3·10^n. Ergo, el primer numero del resultado será siempre 1 o 2 (si al multiplicar por 3 el orden sube, es decir, hay una cifra mas), y si no, sera 9 (ya que 3 seria el mas pequeño posible, y 3*3=9). Ergo, 1, 2 y 3.

Ya lo siento, pero no lo consigo demostrar de manera mas rigurosa, y es dificil explicarlo así por escrito.





Yo el primero lo he hecho por congruencias (vamos, casuistica): n^3+2n=n(n^2+2)
Si n ≡ 0 (3) => n(n^2+2) ≡ 0 (3)
Si n ≡ 1 (3) => n^3 ≡ 1^3 ≡ 1 (3) _y_ 2n ≡ 2 (3) => n^3+2n ≡ 1+2 ≡ 3 ≡ 0 (3)
Si n ≡ 2 (3) => n^3 ≡ 8^3 ≡ 2 (3) _y_ 2n ≡ 4 ≡ 1 (3) => n^3+2n≡1+2≡3≡0 (3)

Demostrado para los tres casos.

Surf Legend escribió:A ver. Si no tiene 1, 2 y 9. (lo que vale es lo final, lo otro es un caso por caso)

Sea X*3=Y

Si el primer numero de X (en 927, 9 es el primero) es un 3, el 1º numero de Y será 9 (del mismo orden) o 1Z (ergo 1 del orden superior)->se cumple
Si el primer numero de X es 4, el primero de Y es 1 (de orden superior). Siempre.
Si el primer numero de X es 5, el primero de Y es 1 (de orden superior). Siempre.
Si el primer numero de X es 6, el primero de Y es 1 (de orden superior) si el 2º numero de X es imferior a 6. Ee primero de Y es 2 si es superior a 6 (si es 6, o lo uno o lo otro).
Si el primer numero de X es 7, el primero de Y es 2 (de orden superior) siempre.
Si el primer numero de X es 8, el primero de Y es 2 (de orden superior) siempre.

Esto es porque 9(periodo de n)*3<3·10^n. Ergo, el primer numero del resultado será siempre 1 o 2 (si al multiplicar por 3 el orden sube, es decir, hay una cifra mas), y si no, sera 9 (ya que 3 seria el mas pequeño posible, y 3*3=9). Ergo, 1, 2 y 3.

Ya lo siento, pero no lo consigo demostrar de manera mas rigurosa, y es dificil explicarlo así por escrito.





Yo el primero lo he hecho por congruencias (vamos, casuistica): n^3+2n=n(n^2+2)
Si n ≡ 0 (3) => n(n^2+2) ≡ 0 (3)
Si n ≡ 1 (3) => n^3 ≡ 1^3 ≡ 1 (3) _y_ 2n ≡ 2 (3) => n^3+2n ≡ 1+2 ≡ 3 ≡ 0 (3)
Si n ≡ 2 (3) => n^3 ≡ 8^3 ≡ 2 (3) _y_ 2n ≡ 4 ≡ 1 (3) => n^3+2n≡1+2≡3≡0 (3)

Demostrado para los tres casos.

Correcto . No hay manera más rigurosa creo yo. Básicamente en la expresión decimal, por enunciado, la primera cifra (u) debe ser mayor que 3, y lo que te llevas del anterior (r) menor que 2, y 9 <= 3u+r <= 26, con lo que tenemos siempre uno de los números.

Me pongo a pensar uno para mañana (igual lo pongo ahora en un rato)

Algo de geometría básica para matar el tiempo. Por cierto, estoy pensando que igual sería mejor meter las soluciones en spoiler, ¿no?

Ah, y todos podeis proponer problemas si queréis

Excelsas habilidades de dibujo:

A ver si me he enterado... ¿Pides el area del plano ese?
¿Que son los numeros esos?